A Geometria das Dobragens

(Este artigo é um excerto de um workshop prático de origami de Joaquim Reis)

Introdução

A maior parte do desenvolvimento científico da matemática do origami ocorreu na 2ª metade do séc. XX. Desde 1970 estudaram-se de forma sistemática as várias possíveis combinações de dobras.

Uma linha de dobra define um vinco no papel (ou noutro material dobrável qualquer). Um vinco especificará, adicionalmente, se se trata de uma dobra em monte ou uma dobra em vale.

Partindo de um qualquer conjunto de pontos e linhas pode, através de um processo mecânico, criar‑se novas linhas de dobra. Pontos adicionais podem ser definidos pelas intersecções entre as linhas novas e as anteriores. A aplicação repetida de operações de um conjunto de operações, ou passos, elementares expande o conjunto de pontos, linhas de dobra e as combinações possíveis deles. Associando vincos a linhas de dobra, a montagem de um modelo de origami acabado passa então por executar, por uma determinada ordem, as dobras respectivas.

Os axiomas de Huzita-Hatori, assim apelidados porque forma descritos por Humiaki Huzita e Koshiro Hatori, especificam o conjunto mínimo e completo de operações elementares para definir linhas de dobra rectilíneas.

Estes axiomas são importantes para a definição de vincos cujas dobras, uma vez executadas por uma ordem especificada produzirão um modelo de origami determinado e são descritos a seguir.

Axioma 1 (Huzita)

Unindo dois pontos dados, p1 e p2, define-se uma linha de dobra.

Axioma 2 (Huzita)

Sobrepondo dois pontos dados, p1 e p2, define-se uma linha de dobra.

Axioma 3 (Huzita)

Sobrepondo duas linhas dadas, l1 e l2, define-se uma linha de dobra.

Axioma 4 (Huzita)

Dados uma linha, l1, e um ponto, p1, define-se uma linha de dobra perpendicular a l1 passando por p1.

Axioma 5 (Huzita)

Dados dois pontos, p1 e p2, e uma linha, l1, define-se uma linha de dobra passando por p2 e colocando p1 sobre l1.

Axioma 6 (Huzita)

Dados dois pontos, p1 e p2, e duas linhas, l1 e l2, define-se uma linha de dobra colocando p1 sobre l1 e p2 sobre l2.

Axioma 7 (Hatori)

Dado um ponto, p1, e duas linhas, l1 e l2, define-se uma linha de dobra perpendicular a l2 e colocando p1 sobre l1.